環の直積

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数学において、いくつかのを1つの大きい直積環積環 (product ring) に合併することができる。これは次のようにされる: I がある添え字集合RiI のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 ΠiI Ri は演算を coordinate-wise に定義することによって環にできる。

得られる環は環 Ri直積 (direct product) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和 (direct sum) と一致する。

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重要な例は整数nとした環 Z/nZ である。n素数のベキの積

ただし pi は相異なる素数、として書かれていれば(算術の基本定理を見よ)、Z/nZ は自然に直積環

同型である。これは中国剰余定理から従う。

性質[編集]

R = ΠiI Ri が環の積であれば、すべての iI に対して、i 番目の座標に積を射影する全射環準同型 pi: RRi がある。射影 pi とともに積 R は、以下の普遍性をもっている:

S が任意の環で fi: SRi がすべての iI に対して環準同型であれば、ちょうど1つの環準同型 f: SR が存在してすべての iI に対して pif = fi である。

これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 RiR は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。

iI に対して AiRiイデアルであれば、A = ΠiI AiR のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 Ri が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は Ri たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。Ai の1つを除くすべてが Ri に等しく残りの AiRi の素イデアルであれば、イデアル AR素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、Ri直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。

R の元 x が単元であることとその component のすべてが単元であることは同値である、すなわち pi(x) がすべての iI に対して Ri の単元であることは同値である。R の単元群は Ri の単元群の直積である。

1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ: xpi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で ypi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (ij) であれば、積環において xy = 0 である。

関連項目[編集]

脚注[編集]

参考文献[編集]