素数階乗素数

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素数階乗素数(そすうかいじょうそすう、: primorial prime)とは、p素数として、p# ± 1 の形で表される素数である。ここで、p#素数階乗p 以下の素数の総乗)である。素数階乗素数は、n! ± 1 の形の素数である階乗素数の類似の概念である。2017年8月現在、42個が知られている。

ユークリッド数[編集]

素数に限らず、p# + 1 の形の数をユークリッド数 (Euclid number) と呼ぶ。名の由来は、素数が無数に存在することの証明のために、ユークリッドがこの数を用いたと広く信じられていることによる[1]。初めのいくつかのユークリッド数は、以下の通り。

3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, …(オンライン整数列大辞典の数列 A6862

このうち、素数であるもののみを抜き出すと、

3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131, …(A18239

であり、この次の数は154桁になる。p# + 1 が素数となるような素数 p は、2017年8月現在で

2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113A5234

の22個が知られている。このうち最大のもの 392113# + 1 は169,966桁の数で、2001年9月にダニエル・ホイヤー (Daniel Heuer) により発見された[2]

クンマー数[編集]

p# − 1 の形の数は、クンマーがユークリッドの定理を証明するのに用いた、という由来があり、 第二ユークリッド数またはクンマー数(Kummer number)と呼ばれている。小さい順に以下の通りである。

1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, …(A57588

このうち、素数であるもののみを抜き出すと、

5, 29, 2309, 30029, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, …(A57705

である。p# − 1 が素数となるような素数 p は、2017年8月現在で

3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, 843301, 1098133A6794

の20個が知られている。このうち最大のもの 1098133# − 1 は476,311桁の数で、2012年3月に分散コンピューティングプロジェクトの PrimeGrid により発見された[2]

素数探索[編集]

p# ± 1 の形の素数が無数にあるのかも、合成数が無数にあるのかも分かっていない[3]ポーヤ・ジェルジは、p# + 1 が素数になる頻度はどのくらいか、と質問した学生に、「愚者が問うことができるが、賢者が答えることができない質問はたくさんある」と答えたという[4]

コールドウェルとギャロットは、2002年までに、105 以下の全ての素数 p に対して p# ± 1 が素数であるかどうか検査した[5]。ホイヤーがコールドウェルに非公式に伝えたところによると、2004年までに 42,507番目の素数 (512,903) 以下の p に対して、p# + 1 が素数であるかどうかは検査済みである[6]

脚注[編集]

  1. ^ ユークリッドはより一般の議論をしたのであって、この数を用いたというのは正確ではない。M. Hardy and C. Woodgold, Prime Simplicity, Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, 2009, 44-52.
  2. ^ a b Prime Pages, The Top Twenty: Primorial
  3. ^ Guy, A2
  4. ^ Wells, primorial の項
  5. ^ C. K. Caldwell, primorial prime - Prime Pages
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Primorial Prime". MathWorld(英語).

参考文献[編集]

  • ChrisK. Caldwell『素数大百科』SOJIN訳、共立出版、2004年2月1日。ISBN 978-4320017597。 - Prime Pages を訳したもの
  • David Wells『プライムナンバーズ ―魅惑的で楽しい素数の事典 (O’Reilly math series)』伊知地宏(監訳)、さかいなおみ(翻訳)訳、オライリー・ジャパン、2008年10月25日。ISBN 978-4873113807。
  • Richard Guy (2004-08-09). Unsolved Problems in Number Theory (Problem Books in Mathematics), 3rd edition. Springer. ISBN 978-0387208602.