終結式

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数学において、終結式(しゅうけつしき、: resultant[注 1]とは、2つの多項式から作られる値で、2つの多項式に(係数体の分解体上で)共通を持つ条件を与えるもののことである。具体的には、次のようにして定義される:

多項式
f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0)
の重複を含めた根を α1, …, αn,
g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0 (bm ≠ 0)
の重複を含めた根を β1, …, βm
とするとき、f, g の終結式 を、次の等式のどちらかで定義する:
(対角成分に anm個、b0n個)
右辺はシルヴェスター行列行列式である。

終結式が 0 であることと2つの多項式が共通根を持つことは同値である。

多項式 f導関数f' で表すと、f判別式に等しい。

終結式は、数論で広く用いられている。有理係数あるいは多項式係数の2つの多項式の終結式はコンピュータで効率的に計算できる。それは計算機代数英語版の基本的なツールであり、たいていの数式処理システムの組み込み関数である。それはとりわけ、柱形代数分解英語版 (CAD), 有理関数の逆微分、二変数代数方程式によって定義された曲線の描画、に対して使われる。

2つの定義式が等しいことの証明[編集]

多項式

f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0)

の重複を含めた根を α1, …, αn,

g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0 (bm ≠ 0)

の重複を含めた根を β1, …, βm

とするとき、次の等式が成り立つ:

(対角成分に anm個、b0n個)

ここでは、文献[2]に掲載されている方法により証明する。

(証明)

とおく。A の第1m行を an で、第(n + 1)(m + n)行を bm で割ると、根と係数の関係より、成分は、01 か、α1, …, αn または β1, …, βm基本対称式になる。

故に は、α1, …, αn; β1, …, βm多項式である。

αi = βj の時を考える。αi = βj =: λ とし、

 (t転置を表す)

とおく。 より、

 (零ベクトル

より、この斉次連立方程式には非自明な解が存在するから、係数行列非正則である:

は、αi = βj のとき多項式として 0 になるから、因数定理より、αiβj を因数に持つ:

両辺の (β1 β2βm)n の係数を比較すると、c = 1

係数が可換環上の場合[編集]

R K に含まれる単位的可換環とし、fn 次、gm 次 の R 係数多項式とする:

,

f, gK代数的閉包上で

と因数分解され、終結式 が定義できる。

脚注[編集]

注釈[編集]

  1. ^ 古い文献では eliminant消去式)と呼ばれることもある[1]

出典[編集]

  1. ^ Salmon 1885, lesson VIII, p. 66.
  2. ^ 吾郷孝視、細尾敏男、田中隆一『線形代数問題集』森北出版〈基礎数学問題集シリーズ1〉、1989年1月1日、単行本、p.40,41,134。ISBN 978-4627045101。

参考文献[編集]

関連項目[編集]