裏 (論理学)

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「p⇒q」という形の命題に対して、命題「¬p⇒¬q」を、元の命題の(うら、: Inverse)という。

ある命題「p⇒q」とその裏「¬p⇒¬q」の真偽は必ずしも一致しない。 しかし、ある命題「p⇒q」の「q⇒p」と裏「¬p⇒¬q」とは対偶の関係にあるので、その真偽は一致する。 日常生活では、「ならば」の意味など、裏も必ず真であるような誤謬をすることがある。(前件否定

推論規則二重否定の除去「¬¬p ⊢ p」により、裏「¬p⇒¬q」の裏「¬¬p⇒¬¬q」から元の命題「p⇒q」を演繹できる。推論規則の二重否定の導入「p ⊢ ¬¬p」により、元の命題「p⇒q」から裏の裏「¬¬p⇒¬¬q」を演繹できる。したがって、元の命題「p⇒q」とその裏の裏「¬¬p⇒¬¬q」との真偽は一致する。

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  • 命題「勝てば官軍」の裏は「勝たなければ官軍でない」である。このとき、「勝つ」か「負ける」かのどちらかだけであり「引き分け」が無い場合、そして「官軍でない者は賊軍である」である場合に、命題「勝てば官軍」とその裏「勝たなければ官軍でない」と命題「負ければ賊軍」との真偽が一致する。
  • 命題「机であるならば硬い」の裏は「机でなければ硬くない」である(この場合、明らかに真偽が一致しない[1])。

脚注[編集]

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  1. ^ ただし、「机であるならば硬い」という命題の証明は悪魔の証明となる。

関連文献[編集]

  • 前原昭二 『記号論理入門』 安東祐希 補足、日本評論社〈日評数学選書〉、2005年12月、新装版。ISBN 978-4-535-60144-4。
  • 矢野健太郎 『新しい数学』 岩波書店〈岩波新書 青版 G-8〉、1966年2月21日。ISBN 4-00-416008-1。

関連項目[編集]