超複素解析

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数学における超複素解析(ちょうふくそかいせき、: hypercomplex analysis)は、実解析複素解析函数の引数英語版多元数(超複素数)である場合の研究に拡張するものである。そのもっとも単純な例が、四元数を引数にとる四元変数函数論英語版(四元数解析)であり、また分解型複素数を引数に取る分解型複素変数函数論英語版である。

数理物理学において用いられる超複素数系にクリフォード代数と呼ばれるものがある。クリフォード代数に引数をとる函数の研究はクリフォード解析英語版と言う。

行列もまた超複素数として扱いうる対象である。例えば、二次の実正方行列変数の函数の研究は、超複素数の空間の位相がその函数論を決定することを示している。行列の平方根行列の指数函数行列の対数函数は超複素解析の基本的な例である。対角化可能行列の函数論は固有分解英語版を持つから、特に見通しがよい。実際、Ei を適当な射影行列として、T = ∑N
i=1
λi Ei
と書けるならば、任意の多項式 f に対して、f(T)= ∑N
i=1
f(λi) Ei
と計算できる。

現代的な用語法では、「多元数の体系」を多元環 (algebra) と呼ぶ。応用上現れる多元環は、コーシー列が必ず収束するというバナッハ多元環(バナッハ代数)になっているものも多く、したがってそのような場合の函数論は数列級数によって豊饒化 (enrich) されている。この文脈において、複素変数の場合の正則函数に当たる概念の拡張は、正則汎函数計算英語版によって展開されている。バナッハ代数上の超複素解析は函数解析学と呼ばれるものである。

参考文献[編集]

  • Daniel Alpay (editor) (2006) Wavelets, Multiscale systems and Hypercomplex Analysis, Springer, ISBN 9783764375881 .
  • Enrique Ramirez de Arellanon (1998) Operator theory for complex and hypercomplex analysis, American Mathematical Society (Conference proceedings from a meeting in Mexico City in December 1994).
  • Geoffrey Fox (1949) Elementary Function Theory of a Hypercomplex Variable and the Theory of Conformal Mapping in the Hyperbolic Plane, M.A. thesis, University of British Columbia.
  • Sorin D. Gal (2004) Introduction to the Geometric Function theory of Hypercomplex variables, Nova Science Publishers, ISBN 1-59033-398-5.
  • R. Lavika & A.G. O’ Farrell & I. Short(2007) "Reversible maps in the group of quaternionic Möbius transformations", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 143:57–69.
  • Birkhauser Mathematics (2011) Hypercomplex Analysis and Applications, series with editors Irene Sabadini and Franciscus Sommen.
  • Irene Sabadini & Michael V. Shapiro & F. Sommen (editors) (2009) Hypercomplex Analysis, Birkhauser ISBN 978-3-7643-9892-7.
  • Springer (2012) Advances in Hypercomplex Analysis, eds Sabadini, Sommen, Struppa.
  • Chapman University [1], includes Daniele Struppa, Chancellor of Chapman University, Chapman faculty, and several "external faculty".
  • Roman Lavika (2011) Hypercomplex Analysis: Selected Topics (Habilitation Thesis) Charles University in Prague.