部分対象

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圏論という数学の分野において,部分対象(ぶぶんたいしょう,: subobject)は,大まかに言って,同じの別の対象の中にいる対象である.この概念は,集合論における部分集合群論における部分群位相空間論における部分位相空間[疑問点]などの概念の一般化である[1].対象の詳細な構造は圏論では重要でないから,部分対象の定義は,元を使わず,対象が別の対象の中にどのようにいるかを記述するに依る.

部分対象の双対概念は商対象(しょうたいしょう,: quotient object)である.これは商集合商群商位相空間などの概念を一般化する.

定義[編集]

詳しくは,A をある圏の対象とする.余域を A とする2つの単射

u: SA
v: TA

が与えられたとき,uv とは,uv を通して分解する英語版こととする,つまり,ある w: ST が存在して とする.次で定義される二項関係 :

uvuv かつ vu

は余域を A とする単射上の同値関係であり,これらの単射の対応する同値類は A部分対象 (subobject) である.2つの単射が A の同じ部分対象を表すとき,それらの始域は同型である.A を余域とする単射の集まりに関係 をいれたものは前順序をなすが,部分対象の定義は A の部分対象の集まりが半順序であることを保証する.(ある対象の部分対象の集まりは実は真クラスかもしれない;なのでこの議論は少々不正確である.任意の対象の部分対象の集まりが集合であるとき,圏は well-powered である.)

商対象という双対概念を得るには,単射全射に置き換え射の向きを逆にすればよい.

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Set において,A の部分対象は A の部分集合 B に対応する,あるいは正確には,像がちょうど B であるような B に equipotent な集合からのすべての写像の集まりである.Set の集合の部分対象の半順序はちょうどその部分集合束である.類似の結果は Grp やいくつかの他の圏でも成り立つ.

半順序クラス P が与えられたとき,P の元を対象とし,1つの対象(元)が別の対象以下のときに前者から後者にただ1つの射があるような圏を作れる.P が最大元を持てば,この最大限の部分対象半順序は P 自身である.理由の1つとしては,そのような圏の全ての射は単射であるからである.

終対象の部分対象は部分終対象英語版と呼ばれる.

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Mac Lane, p. 126

参考文献[編集]