ポータル 数学
関数解析学 (かんすうかいせきがく、英 : functional analysis 、仏 : Analyse fonctionnelle 、函数解析学 とも書かれる。別名は位相解析学 。)は数学 (特に解析学 )の一分野で、フーリエ変換 や微分方程式 、積分方程式 などの研究に端を発している[1] [2] [3] [4] 。特定のクラスの関数 からなるベクトル空間 にある種の位相構造 を定めた関数空間 や、その公理化によって得られる線形位相空間 の構造 が研究される[1] [2] [3] [4] 。主な興味の対象は、様々な関数空間 上で積分や微分によって定義される線型 作用素 の振る舞いを通じた積分方程式 や微分方程式 の線型代数学 的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間 上の線型代数学 と捉えられることも多い[1] [2] [3] 。また、無限次元空間上での微分 (フレシェ微分 など) を扱うため、無限次元空間上での微分積分学 という捉え方も可能である[4] 。
応用 [ 編集]
関数解析は量子力学 の数学的基礎である[5] [6] 。また、コンピュータが高度に発達した現代においては数値解析 (特に有限要素法 、精度保証付き数値計算 )において微分方程式 の解の存在を議論するためなどに使われる他[7] [8] [9] [10] [11] 、機械学習 にも応用される[12] 。
主な研究者 [ 編集]
海外 [ 編集]
日本 [ 編集]
関連項目 [ 編集]
微分 [ 編集]
関数解析の定理 [ 編集]
不等式 [ 編集]
不動点定理 [ 編集]
関数空間 [ 編集]
作用素 [ 編集]
関連分野 [ 編集]
半群 [ 編集]
出典 [ 編集]
^ a b c Functional analysis at nLab
^ a b c Weisstein, Eric W. "Functional Analysis." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html
^ a b c Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics
^ a b c 関数解析の基礎-
∞
{\displaystyle \infty }
次元の微積分-, 堀内利郎 & 下村勝孝, 内田老鶴圃.
^ 新井朝雄, 関数解析学と量子物理学
^ 原隆, 数学者のための量子力学入門
^ 大石進一 et. al. (2018), 精度保証付き数値計算の基礎, コロナ社.
^ 中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算 チュートリアル: 応用数理最前線.
^ 中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, サイエンス社 .
^ M. Nakao, M. Plum, Y. Watanabe (2019) Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations (Springer Series in Computational Mathematics).
^ 桂田祐史、Poisson方程式に対する有限要素法の解析超特急
^ Sam Power, Functional Analysis meets Deep Learning .
参考文献 [ 編集]
洋書 [ 編集]
Kantorovich, L. V., & Akilov, G. P. (1982). Functional Analysis en:Pergamon Press . University of Michigan.
Yosida, K. (1995). Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg.
Brezis, H. (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. en:Springer Science & Business Media .
Adams, R. A., & Fournier, J. J. (2003). Sobolev Spaces. Elsevier .
Deimling, K. (2010). Nonlinear functional analysis. Courier Corporation.
Berger, M. S. (1977). Nonlinearity and functional analysis: lectures on nonlinear problems in mathematical analysis. en:Academic Press .
Schwartz, J. T., Schwartz, L., & Karcher, H. (1969). Nonlinear functional analysis. en:CRC Press .
Zeidler, E., Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I-V. en:Springer Science & Business Media .
Zeidler, E. (2012). Applied functional analysis: main principles and their applications. en:Springer Science & Business Media .
Zeidler, E. (2012). Applied functional analysis: applications to mathematical physics. en:Springer Science & Business Media .
Collatz, L. (2014). Functional analysis and numerical mathematics. en:Academic Press .
Computational Functional Analysis 2nd Edition, Ramon Moore & Michael Cloud (2007), Woodhead Publishing.
Lebedev, V. I. (2000). Functional analysis and computational mathematics. Moscow: Fizmatlit.
en:Haïm Brezis , Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Dunod, 2005.
和書 [ 編集]
増田久弥 , 関数解析, 裳華房 .
復刊 位相解析―理論と応用への入門、加藤敏夫 、共立出版 。
位相解析の基礎, 吉田耕作 , 河田敬義, 岩村聯, 岩波書店 .
関数解析―その理論と応用に向けて, 藤田宏 , 小西芳雄, Brezis H., 産業図書.
藤田宏 、理解から応用への関数解析、岩波書店 。
藤田宏 、黒田成俊、伊藤清三、関数解析、岩波書店 。
黒田成俊、関数解析、共立出版 。
解説記事 [ 編集]
吉田耕作 . (1982). 函数解析 50 年. 数学, 34(4), 354-364.
数値解析 との関係を解説する文献[ 編集]
外部リンク [ 編集]