# 2の冪

2n直方体可視化比較図例。

2の（にのべき）は、適当な自然数 n を選べば、2n 乗 2n の形に表せる自然数の総称である。平たく言うと2の累乗数（にのるいじょうすう）である。

## 概説

2倍を繰り返したり、1 + 1 から始めて答えを2つずつ加え合わせることによって得られる数である。いずれもごく基本的な数量操作であり、様々な場面で用いられる。

トーナメント制のスポーツ大会で、試合の回戦が進むごとにチーム数が単純に半減していくように試合を組むとすれば、出場チーム数を2の累乗数にしておかなければならない。但し、実際にはシードや敗者復活などのルールを利用して試合を組むので、2の累乗数に近ければ支障が無い。

## 2の100乗までの2の冪

 20 = 1 216 = 65,536 232 = 4,294,967,296 248 = 281,474,976,710,656 264 = 18,446,744,073,709,551,616 280 = 1,208,925,819,614,629,174,706,176 296 = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336 21 = 2 217 = 131,072 233 = 8,589,934,592 249 = 562,949,953,421,312 265 = 36,893,488,147,419,103,232 281 = 2,417,851,639,229,258,349,412,352 297 = 158,456,325,028,528,675,187,087,900,672 22 = 4 218 = 262,144 234 = 17,179,869,184 250 = 1,125,899,906,842,624 266 = 73,786,976,294,838,206,464 282 = 4,835,703,278,458,516,698,824,704 298 = 316,912,650,057,057,350,374,175,801,344 23 = 8 219 = 524,288 235 = 34,359,738,368 251 = 2,251,799,813,685,248 267 = 147,573,952,589,676,412,928 283 = 9,671,406,556,917,033,397,649,408 299 = 633,825,300,114,114,700,748,351,602,688 24 = 16 220 = 1,048,576 236 = 68,719,476,736 252 = 4,503,599,627,370,496 268 = 295,147,905,179,352,825,856 284 = 19,342,813,113,834,066,795,298,816 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376 25 = 32 221 = 2,097,152 237 = 137,438,953,472 253 = 9,007,199,254,740,992 269 = 590,295,810,358,705,651,712 285 = 38,685,626,227,668,133,590,597,632 26 = 64 222 = 4,194,304 238 = 274,877,906,944 254 = 18,014,398,509,481,984 270 = 1,180,591,620,717,411,303,424 286 = 77,371,252,455,336,267,181,195,264 27 = 128 223 = 8,388,608 239 = 549,755,813,888 255 = 36,028,797,018,963,968 271 = 2,361,183,241,434,822,606,848 287 = 154,742,504,910,672,534,362,390,528 28 = 256 224 = 16,777,216 240 = 1,099,511,627,776 256 = 72,057,594,037,927,936 272 = 4,722,366,482,869,645,213,696 288 = 309,485,009,821,345,068,724,781,056 29 = 512 225 = 33,554,432 241 = 2,199,023,255,552 257 = 144,115,188,075,855,872 273 = 9,444,732,965,739,290,427,392 289 = 618,970,019,642,690,137,449,562,112 210 = 1,024 226 = 67,108,864 242 = 4,398,046,511,104 258 = 288,230,376,151,711,744 274 = 18,889,465,931,478,580,854,784 290 = 1,237,940,039,285,380,274,899,124,224 211 = 2,048 227 = 134,217,728 243 = 8,796,093,022,208 259 = 576,460,752,303,423,488 275 = 37,778,931,862,957,161,709,568 291 = 2,475,880,078,570,760,549,798,248,448 212 = 4,096 228 = 268,435,456 244 = 17,592,186,044,416 260 = 1,152,921,504,606,846,976 276 = 75,557,863,725,914,323,419,136 292 = 4,951,760,157,141,521,099,596,496,896 213 = 8,192 229 = 536,870,912 245 = 35,184,372,088,832 261 = 2,305,843,009,213,693,952 277 = 151,115,727,451,828,646,838,272 293 = 9,903,520,314,283,042,199,192,993,792 214 = 16,384 230 = 1,073,741,824 246 = 70,368,744,177,664 262 = 4,611,686,018,427,387,904 278 = 302,231,454,903,657,293,676,544 294 = 19,807,040,628,566,084,398,385,987,584 215 = 32,768 231 = 2,147,483,648 247 = 140,737,488,355,328 263 = 9,223,372,036,854,775,808 279 = 604,462,909,807,314,587,353,088 295 = 39,614,081,257,132,168,796,771,975,168

## コンピュータにおける2の冪

コンピュータの演算には二進法が使われる。そのため、コンピュータに絡む数値に2の累乗数（ただし、を十進数に直す）が見られる。例えば、1 キロバイト1024 バイト（=210 バイト）であり、家庭用ゲーム機のNINTENDO64やパソコン用CPUブランドのAthlon 64の「64」は、64 ビット（=26 ビット）に因んだ名称である。近年のパソコンやスマートフォンの普及によって、2の累乗数が家庭内にまで見かけられるようになった。

2進接頭辞も参照のこと。

## 数量的な性質

1を2の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の半分の数が、累乗数として現れる。

${\displaystyle 2^{-n}\times 5^{-n}=10^{-n}}$

より

${\displaystyle 2^{-n}=5^{n}\times 10^{-n}}$

であることから導かれる。

1以外の2の冪を十進法で表したとき、一の位は 2, 4, 6, 8 のいずれかである。また、1以外の2の冪 2n を二進法で表したとき、一番上の位は 1 であとに 0 が n 個続く数になる。

## 常用対数との関係

log10 2 = 0.3010299956…

この値にnをかけて小数点以下を切り上げると2nが十進数で何桁の整数かわかる。基本的0.301、または0.30103（小数第6位を四捨五入し切り上げ）で計算する。

## 指数が2の冪となる2の冪

${\displaystyle 2^{2^{0}}=2^{1}}$ = 2
${\displaystyle 2^{2^{1}}=2^{2}}$ = 4
${\displaystyle 2^{2^{2}}=2^{4}}$ = 16
${\displaystyle 2^{2^{3}}=2^{8}}$ = 256
${\displaystyle 2^{2^{4}}=2^{16}}$ = 65,536
${\displaystyle 2^{2^{5}}=2^{32}}$ = 4,294,967,296
${\displaystyle 2^{2^{6}}=2^{64}}$ = 18,446,744,073,709,551,616 (20桁)
${\displaystyle 2^{2^{7}}=2^{128}}$ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456 (39桁)
${\displaystyle 2^{2^{8}}=2^{256}}$ =
115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936 (78桁)
${\displaystyle 2^{2^{9}}=2^{512}}$ =
13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,
127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,
903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,096 (155桁)
${\displaystyle 2^{2^{10}}=2^{1,024}}$ =
179,769,313,
486,231,590,772,930,519,078,902,473,361,797,697,894,230,657,273,430,081,157,732,
675,805,500,963,132,708,477,322,407,536,021,120,113,879,871,393,357,658,789,768,
814,416,622,492,847,430,639,474,124,377,767,893,424,865,485,276,302,219,601,246,
094,119,453,082,952,085,005,768,838,150,682,342,462,881,473,913,110,540,827,237,
163,350,510,684,586,298,239,947,245,938,479,716,304,835,356,329,624,224,137,216 (309桁)
${\displaystyle 2^{2^{11}}=2^{2,048}=}$ 32,317,006,071,311,007,300,714,876,…,193,555,853,611,059,596,230,656 (617桁)
${\displaystyle 2^{2^{12}}=2^{4,096}=}$ 1,044,388,881,413,152,506,691,752,…,243,804,708,340,403,154,190,336 (1,234桁)
${\displaystyle 2^{2^{13}}=2^{8,192}=}$ 1,090,748,135,619,415,929,462,984,…,997,186,505,665,475,715,792,896 (2,467桁)
${\displaystyle 2^{2^{14}}=2^{16,384}=}$ 1,189,731,495,357,231,765,085,759,…,460,447,027,290,669,964,066,816 (4,933桁)
${\displaystyle 2^{2^{15}}=2^{32,768}=}$ 1,415,461,031,044,954,789,001,553,…,541,122,668,104,633,712,377,856 (9,865桁)
${\displaystyle 2^{2^{16}}=2^{65,536}=}$ 2,003,529,930,406,846,464,979,072,…,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729桁)

これらの数字のいくつかはコンピュータにおける使用可能な値の数となっている。たとえば4バイトからなる32ビットワードは、232の値を表すことができる。ただし符号なし32ビットの場合は0から232－1まで、符号付き32ビットの場合は－231から231−1までが表すことができる範囲である。符号付数値の表し方は2の補数を使う。

これらの数より1つ大きい数をフェルマー数と言う。

### 参考

${\displaystyle 2^{2^{20}}=2^{1,048,576}=}$ 67,411,401,254,990,734,022,690,651,…,009,289,119,068,940,335,579,136 (315,653桁)
${\displaystyle 2^{2^{24}}=2^{16,777,216}=}$ 181,858,529,856,973,800,789,277,…,884,097,536 or ${\displaystyle \exp _{10}^{2}(6.70333)}$ (5,050,446桁)
2の2の2の冪乗乗乗
${\displaystyle 2^{2^{2^{1}}}=2^{4}=}$ 上記参照
${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=}$ 上記参照
${\displaystyle 2^{2^{2^{3}}}=2^{256}=}$ 上記参照
${\displaystyle 2^{2^{2^{4}}}=2^{2^{16}}=2^{65,536}=}$ 上記参照
${\displaystyle 2^{2^{2^{5}}}=2^{2^{32}}=2^{4,294,967,296}=}$ 310,328,054,386,328,614,029,989,…,691,982,336 or ${\displaystyle \exp _{10}^{2}(9.11157)}$ (1,292,913,987桁)
${\displaystyle 2^{2^{2^{6}}}=2^{2^{64}}=\exp _{10}^{2}(18.74453)}$ or ${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1.2287454)}$ (5.55302 × 1018桁)

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$n 個の a の上に x が乗っている）

## テトレーション・ペンテーションで表される2の冪

${\displaystyle 2^{n}\uparrow \uparrow 2=(2^{n})^{2^{n}}=2^{n\times 2^{n}}}$

が成り立つ（矢印はクヌースの矢印表記）。これらの指数はオンライン整数列大辞典の数列 A036289に表記される数になる。

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2=2^{2}}$ = 4
${\displaystyle 4\uparrow \uparrow 2=2^{2}\uparrow \uparrow 2=2^{2\times 2^{2}}}$ =
${\displaystyle 2^{8}}$ = 256
${\displaystyle 8\uparrow \uparrow 2=2^{3}\uparrow \uparrow 2=2^{3\times 2^{3}}}$ =
${\displaystyle 2^{24}}$ = 16,777,216
${\displaystyle 16\uparrow \uparrow 2=2^{4}\uparrow \uparrow 2=2^{4\times 2^{4}}}$ =
${\displaystyle 2^{64}}$ = 18,446,744,073,709,551,616
${\displaystyle 32\uparrow \uparrow 2=2^{5}\uparrow \uparrow 2=2^{5\times 2^{5}}}$ =
${\displaystyle 2^{160}}$ = 1,461,501,637,330,902,918,203,684,832,716,283,019,655,932,542,976 (49桁)
${\displaystyle 64\uparrow \uparrow 2=2^{6}\uparrow \uparrow 2=2^{6\times 2^{6}}}$ =
${\displaystyle 2^{384}}$ = 39,402,006,196,394,479,212,279,040,…,884,915,640,806,627,990,306,816 (116桁)
${\displaystyle 128\uparrow \uparrow 2=2^{7}\uparrow \uparrow 2=2^{7\times 2^{7}}}$ =
${\displaystyle 2^{896}}$ = 528,294,531,135,665,246,352,339,…,476,489,538,580,897,737,998,336 (270桁)
${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 2=2^{8}\uparrow \uparrow 2=2^{8\times 2^{8}}}$ =
${\displaystyle 2^{2048}}$ = 32,317,006,071,311,007,300,714,876,…,193,555,853,611,059,596,230,656 (617桁)
2を底とするテトレーション・ペンテーション
${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 1=2^{1}}$ = 2
${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2=2^{2}}$ = 4
${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 3=2^{4}}$ = 16
${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=2^{16}}$ = 65,536
${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 5=2^{65536}}$ = 2,003,529,930,406,846,464,979,072,…,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729桁)
${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 2}$ = 4
${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow 4}$ = 65,536
その他
${\displaystyle 2^{2}\uparrow \uparrow 3=4\uparrow \uparrow 3=4^{256}=}$
${\displaystyle 2^{512}}$ = 13,407,807,929,942,597,099,574,024,…,946,569,946,433,649,006,084,096 (155桁)

## 特殊な2の冪

24 = 16
2桁最小の2の累乗数である。2の100乗までは指数の1の位が0、4、7のときに桁があがる。

28 = 256
8ビットで表せる整数の数で、8ビットを1オクテットとも呼ぶ。1バイトは8ビットである。
210 = 1,024
1000に最も近い2の累乗数である。
コンピュータで用いられる単位ビットバイトでは、キロ(K)やメガ(M)といった接頭辞が1024ごとに上がる。例えば1キロバイトは1024バイトである。コンピュータにとっては特別な意味はないが、十進数を利用する人間には重要な数字である。曖昧さを排するためキビ（Ki）メビ（Mi）などを使うこともある。
214 = 16,384
1万以上の最小の2の累乗数である。漢字圏の命数法では40の倍数と40n＋14、27で接頭辞（）があがる。
215 = 32,768

216 = 65,536
16ビットで表せる整数の数である。Intel 8086などが16ビットである。
42、2↑↑4（矢印はクヌースの矢印表記）のテトレーション数である。
220 = 1,048,576
1000000に最も近い2の累乗数である。コンピュータにおける1メガバイトは1048576バイトである。
224 = 16,777,216
カラーコードで表せる色の総数である。コンピュータのモニターで使用される色の総数でもある。RGBの各3色に8ビットずつ、合計24ビットで表される。
229 = 536,870,912

231 = 2,147,483,648

UNIX時間を使用している32ビットコンピュータは、1970年1月1日0時0分0秒からの秒数が2,147,483,647秒に達する2038年1月19日3時14分7秒（日本標準時では2038年1月19日12時14分7秒）を過ぎると、この値がオーバーフローし誤作動を引き起こす恐れがあり、これを2038年問題と言われている。
232 = 4,294,967,296
32ビットで表せる整数の数である。JavaC言語で表せる変数の数でもある。
IPv4アドレスの総数である。約43億という数は一見大きな数だが、現在のインターネットの規模に対しては十分に大きいとは言えないため、IPアドレス枯渇問題が起こっている。
240 = 1,099,511,627,776
1テラバイトは240バイトである。
10の12乗に最も近い2の累乗数で、千進の英語圏と万進の漢字圏の両方で接頭辞があがる最初の2の累乗数である。これは指数が40の倍数のときに該当する。漢字圏では、英語圏short scaleではtrillion、long scaleではbillionになる。
256 = 72,057,594,037,927,936

263 = 9,223,372,036,854,775,808

264 = 18,446,744,073,709,551,616
64ビットで表せる整数の数である。
268 = 295,147,905,179,352,825,856
0～9のすべての数字が含まれる最小の2の累乗数である。
280 = 1,208,925,819,614,629,174,706,176
コンピュータの情報量を表す最大の単位、1ヨタバイトは280である。

286 = 77,371,252,455,336,267,181,195,264
0が含まれていない最大の2の累乗数であると推測されている数である。
296 = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336
ローカルインターネットレジストリに割り当てられるIPv6アドレスの総数である。CIDRではISPに128ビットのうち32ビットが与えられる。そのためIPアドレスに使用できるのは残りの96ビットである。
2103 = 10,141,204,801,825,835,211,973,625,643,008

2128 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456
IPv6アドレスの総数である。
2168 = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856

2192 = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896
192ビットのAES鍵空間の総数である。
2256 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936
256ビットのAES鍵空間の総数である。
21,024 = 179,769,313,486,231,590,772,931,…,304,835,356,329,624,224,137,216（309桁）

ただし符号付数値表現なので実際に表せる範囲は-21023+1～21023となっており、表せる最大数は21023（8.988×10307）である。
265,536 = 2,003,529,930,406,846,464,979,072,…,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729桁)
52、2↑↑5（矢印はクヌースの矢印表記）であり、ネット上の電卓ですべての数値を計算できる最大のテトレーション数である。
282,589,933 = 148,894,445,742,041,…,210,325,217,902,592（24,862,048桁）
この数より1少ない数が2018年12月の時点で発見されている最大の素数である。この素数は24,862,048桁の長さを持つ。