2の12乗根

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2の12乗根(2の12じょうこん) は、代数的無理数である。音楽理論において非常に重要であり、十二平均律における半音周波数比を表わす。歴史的にこの数はシモン・ステヴィンによって1580年(草稿、1610年に書き直し)に調律との関連で初めて提唱された[1]

数値[編集]

有効数字20桁の2の12乗根は1.0594630943592952646[2][3][4]である。正則連分数展開[5]によるディオファントス近似は1, 1716, 1817, 8984, 196185, 14611379, 16571564, 31182943, 78937450, 1890417843 ... [6][7]である。

平均律の半音階[編集]

音程は周波数の比であるため、平均律の半音階はオクターブ(2:1の周波数比)を12等分する。

この値を中央(C)の上の(A)音(440 Hzの周波数を持ち、A4と呼ばれる)から始まる半音階の音に連続的に適用することで、以下の音高列が得られる。

周波数
(Hz)
乗数 係数
(8桁まで)
近似比
A 440.000000 2012 1.00000000 1
A/B 466.163762 2112 1.05946309 1615
B 493.883301 2212 1.12246205 98
C 523.251131 2312 1.18920712 65
C/D 554.365262 2412 1.25992105 54
D 587.329536 2512 1.33483985 43
D/E 622.253967 2612 1.41421356 75
E 659.255114 2712 1.49830708 32
F 698.456463 2812 1.58740105 85
F/G 739.988845 2912 1.68179283 53
G 783.990872 21012 1.78179744 95
G/A 830.609395 21112 1.88774863 158
A 880.000000 21212 2.00000000 2

最後のA(A5: 880 Hz)は低い方のA(A4: 440 Hz)の厳密に2倍の周波数を持つ。つまり1オクターブ高い。

歴史[編集]

1636年にフランスの数学者マラン・メルセンヌによって計算された。

出典[編集]

  1. ^ Thomas Christensen, ed (2002). The Cambridge history of Western music theory. Cambridge University Press. pp. 205. ISBN 978-0521686983. 
  2. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A010774
  3. ^ [1]Wolfram Alphaによる。
  4. ^ [2]Sageによる(via SageMathCell)。
  5. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A103922
  6. ^ [3]Wolfram Alphaによる。
  7. ^ [4]Sageによる(via SageMathCell)。

推薦文献[編集]

  • Barbour, J. M. (1933). “A Sixteenth Century Approximation for π”. American Mathematical Monthly 40 (2): 69–73. doi:10.2307/2300937. JSTOR 2300937. 
  • Ellis, Alexander; Helmholtz, Hermann (1954). On the Sensations of Tone. Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4. 
  • Partch, Harry (1974). Genesis of a Music. Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X. 

関連項目[編集]